Фамилия Качуровсий — редкий и показательный случай, когда ошибка в написании может скрыть истинное происхождение. Правильная, исторически верная форма — Качуровский, с суффиксом -ский. Именно она указывает на географическую основу: фамилия образована от названия населённого пункта вроде Качуров, Качуровка или Качурово. Такие топонимы встречаются на западе Украины и в Беларуси (например, село Качуровка в Житомирской области). Человек, получивший фамилию Качуровский, скорее всего, был либо выходцем из этого места, либо владельцем земли — шляхтичем, чей родовой герб закрепился за поместьем.

Однако вариант «Качуровсий» с одним «с» — это либо описка в документах XIX века (при переписи или в церковных книгах писарь мог сократить двойную букву), либо результат адаптации фамилии в русской среде, где суффикс -ский часто произносился как -сий. В любом случае разбирать её нужно как Качуровский. Основа «Качур» — прозвище или уменьшительное от имени. Самая вероятная версия: от украинского слова «качур» — селезень, самец утки. Прозвище Качур давали либо за характер (суетливый, вертлявый, похожий на утку походкой), либо за внешность (человек с длинным носом или выдающейся шеей). Встречается и другая гипотеза: от диалектного «качура» — яма, углубление, овраг. Тогда Качур — человек, живший у такого оврага, и фамилия становится чисто топографической, а не прозвищной.

Социальный контекст фамилии двойственный. Окончание -ский в польско-литовской традиции — маркер шляхетского происхождения, и многие Качуровские действительно принадлежали к мелкой шляхте Волыни и Подолья. Но в Российской империи эту модель массово переняли и крестьяне, и духовенство, так что однозначно судить о дворянстве носителя фамилии в конкретном случае нельзя. Встречается фамилия и у крещёных евреев: в Речи Посполитой еврейские семьи нередко брали фамилии по названиям местечек, где жили, и Качуров — одно из таких.

Сегодня носители фамилии Качуровсий (и Качуровский) рассеяны по Украине, Беларуси и югу России, но нигде не образуют плотных гнёзд — это следствие миграций конца XIX — начала XX века. Если вы встретили именно такой вариант написания, скорее всего, он закрепился в паспорте из-за ошибки делопроизводителя, и не стоит искать в нём глубинного смысла: фамилия живёт так, как её записали предку.