Фамилия Катышков образована от прозвища или нецерковного имени Катышок, а тот, в свою очередь, от слова «катыш» — небольшой комок, шарик, скатанный из чего-либо. В русских говорах «катыш» могло означать и маленький хлебец, и комок снега, и круглый камешек, и даже вид кушанья. Прозвище Катышок, скорее всего, давали человеку круглолицему, плотному, невысокого роста — по внешнему сходству с комком или шариком. Встречается и другая, бытовая версия: так могли прозвать ребёнка, который любил катать что-то в руках, или того, кто занимался изготовлением круглых предметов — например, ката́л валенки или лепил глиняные шарики для детской забавы.

Модель образования типична для русских фамилий: суффикс -ов (в форме Катышков) указывает на принадлежность — «сын Катышка» или «из семьи Катышка». Ударение в фамилии падает на второй слог — Каты́шков, что характерно для слов с суффиксом -ыш-.

Интересно, что исходное слово «катыш» имеет те же корни, что и глагол «катать», но в фамилии нет оттенка ремесла, который часто встречается в профессиональных прозвищах. Здесь сильнее именно прозвищная, описательная основа — внешность или манера поведения. В ономастических справочниках фамилия нечастая, но встречается в центральных и южнорусских областях, где говор «катыш» был в ходу. В списках однокоренных фамилий — Катышев (от той же основы, но с другим суффиксом) и Катышкин (с суффиксом -ин, от женской формы прозвища). Катышков — более редкий вариант, сохранивший исходную форму прозвища без переосмысления.

Таким образом, предки носителей этой фамилии — люди, которых в деревне или городе прозвали Катышком, и прозвище закрепилось за родом в качестве наследственного имени. Никакого тайного смысла или знатного происхождения здесь нет: обычная, живая русская фамилия, возникшая из бытового наблюдения.