Фамилия Кавердий — редкая и неочевидная для русского уха. Её форма сразу выдаёт нерусское происхождение: окончание -ий, а не типичные -ов, -ин или -ский. В русском языке такие фамилии чаще всего появлялись из западнославянских языков (польского, украинского, белорусского) или из румынского и молдавского. В случае с Кавердий наиболее правдоподобна польская или украинская основа.

Корень «каверд-» скорее всего восходит к диалектному или профессиональному прозвищу. В польском языке есть слово kawarda — «ссора, распря», а также глагол kawędać — «плакаться, жаловаться». Если прозвище Каверда дали человеку сварливому или вечно недовольному, то фамилия Кавердий — это его русифицированная форма: прибавили окончание -ий, чтобы вписать в русскую грамматику. В украинских говорах похожий корень мог означать «каверза, хитрость» (ср. «каверзник» — проказник, хитрец). То есть предок мог быть либо спорщиком, либо ловкачом.

Вторая версия — топонимическая. В Польше есть село Кавердины (Kawerdyny), а в Беларуси — деревня Каверды. Житель такой местности мог получить прозвище Кавердий (то есть «тот, кто из Каверд»). Потом, при переселении в Россию или на Украину, прозвище закрепилось как фамилия. Эта версия объясняет редкий суффикс: он указывает на принадлежность к месту, как у фамилий Заболоцкий, Горский.

Суффикс -ий в русских фамилиях встречается нечасто и почти всегда выдаёт иноязычный след. Кавердий — не дворянская фамилия (у тех чаще -ский), а скорее крестьянская или мещанская, которую записали по прозвищу в XIX веке при реформах паспортного учёта. Географически фамилия встречается в западных областях России, в Беларуси и на Украине, но везде единично. Это подтверждает её локальное происхождение: она не разошлась широко, а осталась в пределах одной семьи или нескольких родов.

Если ваши предки носили фамилию Кавердий, скорее всего они происходят из западнорусских или белорусских земель, а их родоначальник получил прозвище за характер — сварливый или хитрый. Точнее сказать трудно: фамилия не попала в крупные ономастические словари, и её история восстанавливается только по косвенным данным. Но именно эта редкость делает её ценной для семейного поиска — вы имеете дело не с миллионной, а с уникальной фамилией.