Фамилия Каверский образована по типичной для польской и западнорусской шляхты модели — с суффиксом -ский/-цкий. Такие фамилии изначально указывали на владельческое или родовое поместье: Каверский — это «тот, кто из Кавер» или «владелец Кавер». Название поместья или урочища Каверы, скорее всего, восходит к польскому слову kawer или kawerny — «капризный, привередливый», либо к диалектному kawer в значении «крючок, закорючка». В любом случае, прозвище Кавера давали человеку с непростым характером или внешностью.

В русском контексте фамилия могла появиться через окающее произношение: в северных и центральных говорах кавера — «капризный, вздорный человек». Но решающую роль сыграла не основа, а суффикс. Фамилии на -ский в XVII–XVIII веках были маркером социального статуса: их носили дворяне, духовенство и казачья старшина. Каверский — не крестьянская фамилия, а скорее шляхетская или поповская.

Географически фамилия привязана к западным губерниям Российской империи — Могилёвской, Витебской, Смоленской. В этих местах польская модель фамилий смешалась с русской, и Каверский встречается в метрических книгах униатских и православных церквей. Встречается и вариант Каве́рский с ударением на второй слог — он указывает на белорусское происхождение, где ударение часто смещается.

Не стоит путать Каверского с однокоренной фамилией Каверин: у той суффикс -ин, а значит, она образована от прозвища Кавера напрямую, без привязки к поместью. Каверский — фамилия более «географичная», социально выше и локально уже. Если ваш предок носил её в XIX веке, скорее всего, он был мелкопоместным дворянином, священником или чиновником, а не крестьянином.