Фамилия Кайдани — одна из тех, что ставит исследователя в тупик сразу по нескольким причинам. В ней нет типичного русского суффикса (-ов, -ин, -ский), что сразу намекает: перед нами не крестьянская фамилия центральной России, а нечто, пришедшее с окраин или из другой языковой среды. Окончание -и может указывать на польскую, украинскую или еврейскую (ашкеназскую) модель образования, где -и — это либо окончание родительного падежа множественного числа («из дома Кайданов»), либо часть фамилии, застывшая в форме множественного числа.

Самая очевидная версия связывает фамилию с литовским или польским топонимом Кайданы (современный Кедайняй в Литве). В Речи Посполитой было принято давать прозвища по месту жительства или происхождения: человека, переехавшего из Кайдан, могли назвать Кайдани. Такая модель широко распространена у евреев-ашкеназов (ср. Виленский, Ковенский, Житомирский), но встречалась и у поляков, и у литовцев, и у русских, живших в западных губерниях. Если предок был мещанином или купцом, перебравшимся в другой город, фамилия легко закреплялась.

Вторая версия, менее географическая, выводит основу из тюркского слова «кайдан» — так в некоторых тюркских языках называли цепь, оковы или кандалы. В русских говорах «кайданы» — это именно кандалы. Прозвище Кайдани мог получить человек, имевший дело с цепями: кузнец, ковавший оковы, или, напротив, бывший каторжник. Однако суффикс -и в этом случае нетипичен для русской фамильной модели: в России сказали бы Кайданов или Кайданкин. Поэтому тюркская версия слабее, хотя полностью исключать её нельзя — в южных и казачьих регионах фамилии с непривычными окончаниями иногда возникали спонтанно.

Встречается фамилия Кайдани и среди греков Приазовья (мариупольских греков). У них есть фамилии, оканчивающиеся на -и, и корень может быть связан с греческим словом «кайда» — «ветка», «побег», или с турецким заимствованием. Но это уже совсем другая история, и путать её с литовско-польской версией не стоит.

Что касается сословной принадлежности, то фамилия Кайдани не была крестьянской в классическом смысле. Её носители в XIX веке чаще всего оказывались мещанами, купцами или ремесленниками в городах западных губерний Российской империи (Виленской, Ковенской, Гродненской). Встречается она и в среде еврейского населения Литвы и Беларуси, где топонимические фамилии были очень распространены.

Итог прост: скорее всего, ваш предок был родом из литовского местечка Кайданы (Кедайняй) или носил прозвище, данное по этому городу. Фамилия редкая, с чёткой региональной привязкой к бывшим землям Речи Посполитой.