Фамилия Кажук — одна из тех, что ставит перед этимологом задачу с несколькими решениями. Её основа звучит одинаково, но могла произойти из разных языковых источников. Самая прямая версия — украинская или белорусская: слово «кажук» (или «кожух») означало тулуп, полушубок из овчины. В старину кожух был не просто одеждой, а символом достатка и зимнего тепла, поэтому прозвище Кажук мог получить либо скорняк, выделывавший овчину, либо просто человек, который не расставался с тулупом. Такие прозвища по предметам одежды — обычное дело в славянской антропонимии (вспомните фамилии Шуба, Лысенко, Чобот).

Вторая версия отсылает к тюркским корням, что не менее вероятно для южнорусских и украинских степных регионов. В тюркских языках есть слово «кажы» или «кази» — судья, духовное лицо. Суффикс -ук в украинской традиции часто указывал на принадлежность или происхождение: Кажук мог означать «сын кадия» или «человек из рода судьи». Эта версия объясняет, почему фамилия встречается не только в лесной, но и в степной Украине, где веками жили бок о бок славяне и тюрки.

Словообразовательная модель типична для украинских фамилий: суффикс -ук (как у Бондарчук, Кравчук) указывает на потомка или мастера. В отличие от русских -ов/-ев, украинский суффикс -ук не застыл в притяжательной форме, а сохранил живую связь с профессией или прозвищем отца. Фамилия Кажук могла возникнуть и в польской среде (через форму «Każuk»), но польское влияние вряд ли было решающим — на востоке Речи Посполитой «кажук» как раз и значило «кожух».

Географически фамилия плотнее всего сидит в западных и центральных областях Украины — Волыни, Подолье, Киевщине. В России она редка и воспринимается как однозначно украинская. Интересно, что в некоторых говорах «кажук» могли называть не только одежду, но и вид пчелиного улья (соломенный или плетёный), так что возможна и третья, совсем локальная версия — прозвище пасечника. Но она менее обоснована: в письменных источниках XVI–XVII веков «кажук» в значении «тулуп» зафиксирован надёжнее.

Так что перед нами типичная украинская фамилия-прозвище, которая, скорее всего, родилась в среде ремесленников или крестьян, носивших овчинную одежду. Наличие тюркской параллели не отменяет основной версии, а лишь напоминает, что граница между славянским и тюркским миром на юге была зыбкой, и одно и то же слово могло прийти с двух сторон.