Фамилия Кельдышев — редкий случай, когда основа, скорее всего, не русская, а тюркская, но оформлена по стандартной русской модели. Если отбросить суффикс -ев (вариант -ов после мягкого согласного), остаётся корень Кельдыш. В русской ономастике суффикс -ыш часто образует прозвища от глаголов (например, Говорыш от говорить, Криворыш), но здесь основа явно иноязычная.

Наиболее вероятная версия связывает фамилию с тюркским личным именем Кельдыш (или Келдиш). В тюркских языках корень «кель-» означает «приходить», «прибывать». Имя Кельдыш можно перевести как «пришедший», «появившийся на свет». В родильной обрядности многих тюркских народов такие имена давали ребёнку, рождение которого было долгожданным или случилось после трудной беременности — как бы «пришёл наконец». Таким образом, Кельдышев — буквально «сын (потомок) Кельдыша».

Вторая, менее распространённая версия, выводит фамилию из казахского или киргизского слова «келді» — «он пришёл» с добавлением аффикса -ш, образующего имя деятеля. Тогда Кельдыш — «тот, кто пришёл» или «пришелец», то есть человек, пришлый в этих местах. В этом случае фамилия могла закрепиться за приезжим, осевшим на новом месте.

Фамилия Кельдышев редкая. Её география тяготеет к регионам Поволжья (Татарстан, Башкортостан) и Южного Урала, где исторически были сильны тюрко-славянские контакты. Встречается она и у казахов. В русских документах фамилия фиксируется с XVII–XVIII веков, когда татары, башкиры и представители других народов, принимая православие, получали фамилии по имени отца, но с русским окончанием.

С точки зрения социального статуса, носители фамилии Кельдышев в прошлом, скорее всего, были служилыми людьми, крестьянами или мещанами. Дворянских родов с такой фамилией в «Бархатной книге» или «Общем гербовнике» нет, что косвенно указывает на незнатное, но свободное происхождение предков.