Фамилия Клещунов образована по типичной русской модели: к основе прозвища Клещун прибавили суффикс -ов, указывающий на принадлежность («чей?» — сын Клещуна). Само прозвище Клещун напрямую связано с инструментом — клещами.

Самый вероятный сценарий появления такой фамилии — профессиональный. Клещун — это человек, который делал клещи. В кузнечном деле этот инструмент был незаменим: без него кузнец не мог бы удержать раскалённую заготовку. Спрос на качественные клещи был высок, и того, кто их ковал, хорошо знали в округе. Прозвище закреплялось за мастером и переходило к его детям уже как фамилия. Позже клещи вошли в обиход плотников, столяров, слесарей, но корень прозвища всё равно остаётся в ремесленной среде.

Есть и другая версия, менее конкретная, но тоже возможная: прозвище Клещун могло отражать характер — упорный, цепкий, настойчивый человек, которого нелегко переубедить или сдвинуть с места. Такое прозвище давали не за профессию, а за манеру поведения.

Третий вариант, который иногда встречается в рассуждениях о фамилиях, — от мирского имени Клещ. В древнерусской традиции ребёнку могли дать имя по названию животного или насекомого, чтобы «обмануть» злых духов или перенести на него качества этого существа. Но для фамилии Клещунов эта версия слабее: суффикс -ун в основе (Клещ- + -ун) как раз указывает на деятеля, на того, кто совершает действие, а не на прямое именование по насекомому. Поэтому профессиональное или характеризующее прозвище выглядит убедительнее.

В документах фамилия встречается нечасто. Например, в Книге памяти Республики Мордовия записан Клещунов Пётр Сергеевич, 1912 года рождения, из села Новое Синдрово. Эта запись — одно из немногих свидетельств бытования фамилии, и она привязана к конкретному региону. Возможно, именно в тех местах фамилия и получила распространение.

Словообразовательный тип у Клещуновых простой и прозрачный: прозвище на -ун + патронимический суффикс -ов. Такая модель характерна для русских фамилий, возникших в крестьянской и ремесленной среде, где человека называли по занятию или заметной черте, а потом это именование закреплялось за родом.