Фамилия Клещунова — женская форма фамилии Клещунов, и её происхождение надёжнее всего объясняется через прозвище, связанное с насекомым. В основе лежит слово «клещ» — мелкий паразит, который в народной речи часто становился метафорой. Клещом в крестьянской среде называли назойливого, прилипчивого человека или, наоборот, того, кто «впивается» в работу, делает всё дотошно и медленно. Возможен и бытовой оттенок: так могли прозвать человека невысокого роста, юркого или нелюдимого.

Модель образования типична для русского Севера и центральных областей: суффикс -ун- (как в словах «говорун», «бегун») придаёт прозвищу оттенок деятеля, склонного к действию. Клещун — «тот, кто ведёт себя как клещ», то есть носитель соответствующего поведения или внешности. Затем к основе добавился фамильный суффикс -ов-, указывающий на принадлежность: сын Клещуна, а потом и его потомки стали Клещуновыми.

В отличие от фамилий, образованных от крестильных имён (Иванов, Петров), Клещунов — типичная «мирская» фамилия по прозвищу. Она не говорит о знатности рода, а скорее о том, что предок жил в среде, где прозвища давали метко и без лести. В старых писцовых книгах XVII века встречаются записи о крестьянах с таким прозвищем, например, на территории нынешних Архангельской и Вологодской областей — там слово «клещ» и его производные были в ходу.

Есть и более редкая, но правдоподобная версия: фамилия могла образоваться от диалектного слова «клещун» — так в некоторых говорах называли кузнеца или мастера, работающего с металлом, якобы из-за сходства клещей с клещами. Однако эта гипотеза слабее: в русских говорах слово «клещун» в значении инструмента не зафиксировано в авторитетных диалектных словарях, а прозвищная модель по насекомому для русских фамилий гораздо распространённее. Поэтому основная версия — от прозвища по характеру или внешности.

Фамилия Клещунова встречается нечасто, что говорит о её локальном происхождении. Наибольшая концентрация носителей, если судить по современным данным, приходится на Ростовскую область и Поволжье — возможно, из-за переселений крестьян в XIX веке. В целом это фамилия-характеристика, которая прямо указывает на то, каким видели предка окружающие: цепким, упрямым или просто маленьким и подвижным.