Фамилия Клёшев образована по стандартной восточнославянской модели с патронимическим суффиксом -ев. Она указывает на происхождение от прозвища или имени Клёш. Подобные именования широко представлены в ономастике восточных, западных и южных славян: славянские фамилии возникали от личного прозвища или от имени — христианского или языческого.

Разбираем основу. Слово «клёш» в русских говорах имеет несколько значений. Самое прямое — «штанина, расширяющаяся книзу», деталь покроя одежды. Но вряд ли прозвище дали за фасон брюк. Гораздо вероятнее, что в основе лежит диалектное «клёш» в значении «клешня, клешня рака» — то есть кривая, загнутая конечность. Человек с искривлёнными пальцами или неловкой походкой мог получить прозвище Клёш. Ещё одна версия связывает фамилию с глаголом «клешить» — «расставлять, раздвигать, делать широким». В таком случае Клёшем могли назвать человека с широким шагом или размашистыми движениями.

Встречается и версия о связи с профессией. В некоторых регионах «клёшем» называли инструмент для выделки кож или сапожное шило. Если предок был кожевником или сапожником, прозвище могло перейти по ремеслу.

Суффикс -ев, а не -ов, указывает, что основа оканчивалась на мягкий согласный или шипящий: Клёш → Клёшев. Такая модель типична для фамилий, возникших в северных и центральных губерниях России. Фамилия недворянская, крестьянская или мещанская — её носители, скорее всего, относились к податным сословиям. В документах фамилия встречается с XIX века, преимущественно в Поволжье и на Урале, что косвенно подтверждает связь с ремёслами или промыслами.