Фамилия Клешова образована от прозвища или нецерковного имени Клеш. В основе лежит слово «клеш» — так в русских говорах называли клешню рака, а также кривой, изогнутый предмет. Прозвище Клеш мог получить человек с цепкими, загребущими руками, либо тот, кто ходил вразвалку, широко расставляя ноги — отсюда и «клеш» как часть брюк. В некоторых диалектах «клеш» означало ещё и зазубрину, заусенец, что тоже могло стать основой для прозвища мастера-ремесленника.

Модель образования типична для русского Севера и центральных областей: суффикс -ов указывает на принадлежность, то есть Клешова — дочь или жена Клеша. Фамилия фиксируется в документах с XVII века, преимущественно в Вологодской, Архангельской и Костромской губерниях. В писцовых книгах встречаются крестьяне Клешовы, что говорит о простонародном происхождении: фамилия не дворянская, а «мирская», от уличного прозвища.

Есть и альтернативная версия: от тюркского слова «клеш» (удача, счастье) — но она менее состоятельна, поскольку фамилия не прослеживается в южных и восточных регионах, где тюркские заимствования обычны. Скорее всего, Клешовы — потомки крестьян или ремесленников Русского Севера, получивших прозвище за характерную походку или хватку. В современном варианте фамилия сохраняет ударение на первом слоге: Клешова.