Фамилия Клешненков — это отчество, но не прямое, а «второго порядка». Она образована по цепочке: прозвище Клешня → отчество Клешненко (сын Клешни) → фамилия Клешненков (внук Клешни). По сути, Клешненков — это «внук Клешни». Суффикс -енко, прежде чем стать частью фамилии, указывает на украинское или белорусское происхождение промежуточной формы, хотя сама фамилия на -ов уже обрусела.

Основа фамилии — прозвище Клешня. Слово «клешня» означает передние конечности рака или насекомого, похожие на щипцы. Отсюда идут два основных толкования характера предка. Первое: Клешней называли человека ухватистого, цепкого и прижимистого — того, кто «держит своё мёртвой хваткой». Второе, более конкретное, относится к роду занятий. В пермских говорах клешнёй называли мелкого торговца, перекупщика или менялу. Это прозвище могло закрепиться за человеком, который ловко «загребает» прибыль, торгуя вразнос.

Есть и третья версия, связанная с глаголом «клешнить» — «щемить щипцами». Здесь Клешня — прозвище кузнеца, работающего клещами, либо, в переносном смысле, человека властного и жёсткого, который «прищемлял» подчинённых. Из всех версий наиболее правдоподобна «торговая» — она привязана к конкретному региону и бытовой лексике. Фамилия редкая, в отличие от более распространённых Клещёвых или Клешнёвых, и её форма с двойным суффиксом (-енк-ов) выдает недавнюю «украинскую» стадию, которую фамилия прошла до закрепления на русской почве.