Фамилия Клешнев (и её вариант Клешнёв) ведёт начало от прозвища Клешня. В его основе лежит слово «клешня» — так называют передние ножки раков и некоторых насекомых, похожие на клещи или щипцы. Это прозвище могли дать человеку с цепкими, «ухватистыми» руками или прижимистому, скупому — образно говоря, он «держал добычу мёртвой хваткой».

Но есть и другая, более конкретная версия. В пермских говорах «клешнёй» называли мелкого торговца, перекупщика или менялу. Это переносит прозвище в разряд профессиональных: основатель рода мог заниматься скупкой и перепродажей товаров, то есть быть «клешнёй» в значении «торгаш». Такое ремесло в старину не всегда считалось почётным, но давало устойчивое бытовое имя.

Наконец, прозвище могло родиться от глагола «клешнить» — «щемить щипцами, клешнями». Здесь напрашивается связь с кузнечным делом: кузнец постоянно работал клещами, и его за это могли прозвать Клешнёй. В переносном смысле так могли окрестить и властного, «давящего» человека — того, кто «зажимал» подчинённых.

Все три версии не противоречат друг другу: прозвище Клешня легко прирастало к разным людям — по внешнему сходству, по занятию или по характеру. Суффикс -ев (в форме Клешнев) указывает на типичную для русских фамилий модель «чей?» — то есть «сын Клешни». Со временем прозвище закрепилось за потомками как родовое имя.