Фамилия Клешнин образована по одной из самых распространённых в русском языке моделей — с помощью суффикса -ин, который присоединялся к основе, оканчивающейся на -а или -я. В данном случае основа — прозвище Клешня. Такую фамилию мог получить либо сам носитель прозвища, либо его прямой потомок.

Прозвище Клешня происходит от нарицательного «клешня» — так называют передние конечности раков и некоторых насекомых, напоминающие клещи или ножницы. Человека могли прозвать Клешнёй за цепкость, хватку или, напротив, за прижимистость — «ухватистого» мужика, который не упустит своего.

Среди носителей фамилии есть одна яркая историческая фигура, которая могла дать начало целому роду. В конце XVI века в Думе при царе Фёдоре Ивановиче заседал Андрей Петрович Клешнин, известный также под крестильным именем Лупп. Он приходился дядькой (воспитателем) царю Фёдору и в 1585 году был пожалован в думные дворяне. Вместе с князем Василием Шуйским Клешнин участвовал в расследовании Угличского дела — гибели царевича Дмитрия. Комиссия пришла к выводу о нечаянном самозаклании царевича, что позже разошлось с официальной версией. Это обстоятельство дало повод летописцам считать Клешнина единомышленником Бориса Годунова, хотя более вероятно, что он попал в Думу именно благодаря близости к царю Фёдору. После воцарения Бориса Клешнин постригся в монахи под именем Левкий и в 1599 году скончался.

Таким образом, фамилия Клешнин могла принадлежать как простому человеку с характерным прозвищем, так и потомкам одного из заметных деятелей Смутного времени.