Фамилия Клешнина образована от прозвища Клешня. В народе клешнёй называли передние ножки раков и некоторых насекомых, похожие на клещи или щипцы. Прозвище было метким и ёмким: Клешнёй в крестьянской среде обычно называли человека ухватистого, цепкого или прижимистого. Суффикс -ин указывает на принадлежность: Клешнина — это «дочь (или жена) Клешни», а в более широком смысле — потомок того, кто носил прозвище Клешня.

Однако у этой фамилии есть и конкретная историческая привязка, которая выделяет её среди многих «прозвищных» фамилий. Родоначальником дворян Клешниных, по ряду источников, был Андрей (в иночестве Лупп) Петрович Клешнина. Он приходился дядькой (воспитателем) царю Фёдору Ивановичу и в 1585 году был пожалован в думные дворяне — вместе с князем Василием Шуйским. Клешнина вошёл в комиссию по расследованию Угличского дела — гибели царевича Дмитрия. Комиссия тогда сделала вывод о нечаянном самозаклании царевича, что позже разошлось с официальной версией и дало повод летописцам причислять Клешнину к единомышленникам Бориса Годунова. Историки считают это маловероятным: Клешнина попал в Думу скорее благодаря личной близости к царю Фёдору, а не по воле Годунова. С воцарением Бориса он постригся в монахи под именем Левкий и умер в 1599 году.

Таким образом, фамилия Клешнина может иметь два пласта: более древний, крестьянский — от прозвища, и документально засвидетельствованный, дворянский — от конкретного исторического лица XVI века. В современном бытовании фамилия встречается нечасто, что делает её носителей, скорее всего, потомками одного из этих корней.