Фамилия Климашева — женская форма, а её мужской вариант Климашев. Основа здесь — имя Клим, сокращение от Климент (от латинского «милостивый», «снисходительный»). В русской традиции Клим было полноправным народным именем, а не просто уменьшительной формой: крестьян и посадских людей так называли часто.

Интересна модель образования. Суффикс -ашев встречается реже привычного -ов или -ев. Он указывает на происхождение от прозвищной или обиходной формы имени: Климаш — так в быту могли звать человека по имени Клим. То есть фамилия образована не напрямую от Клима, а от производной, «домашней» формы. Такая словообразовательная цепочка (Клим → Климаш → Климашев) характерна для северных и центральных регионов России, где в XVI–XVII веках активно складывались фамилии на -аш, -уш, -яш.

Поскольку имя Клим было распространено среди всех сословий, однозначно сказать, кем были предки, нельзя. Среди Климашевых могли быть и крестьяне, и ремесленники, и священники. В документах XVIII–XIX веков фамилия встречается в Вологодской, Вятской и Пермской губерниях — регионах, куда активно переселялись люди с Русского Севера. Если ваши предки оттуда, велика вероятность, что фамилия закрепилась именно там.

В написании возможна путаница: в старых метриках могли писать «Климашов» через «о» под ударением, но со временем закрепился вариант с «е» — Климашев. Оба варианта считаются этимологически верными, просто разное окончание в суффиксе.