Фамилия Климашевская образована от имени Климаш — просторечной, обиходной формы крестильного мужского имени Климентий. Это имя пришло из греческого языка и имеет два основных толкования: «милостивый» и «виноградная лоза». Второе значение связано с античной символикой плодородия и жизненной силы.

Суффикс -евск- указывает на типичную модель образования польских, украинских и западнорусских фамилий. Окончание -ая закрепилось в русской традиции, поэтому фамилия звучит как прилагательное женского рода. Мужской вариант — Климашевский. Такая форма часто означала принадлежность к роду или месту: «из дома Климаша» или «из села, где жили Климаши».

Скорее всего, основатель рода Климашевских был выходцем из рабочей или крестьянской среды. В среде простых людей имя Климентий часто сокращали до Климаш, Клима, Клим. От тех же корней пошли фамилии Климов, Климович, Климашевич — все они дальние «родственники» Климашевской.

Встречается фамилия преимущественно на западе России, в Беларуси и на Украине — в областях, где исторически была сильна польская и западнорусская ономастическая традиция с суффиксом -ский/-цкий. Если ваши предки носили эту фамилию, они, вероятно, жили в одном из таких регионов и могли принадлежать к крестьянскому или мещанскому сословию.