Фамилия Климашевский — наглядный пример того, как польская или западнорусская модель словообразования оказалась усвоена русской традицией. На первый взгляд очевидна связь с именем Клим (каноническая форма Климент), но суффикс -шевский указывает на иную, не московскую, географию происхождения.

В основе фамилии лежит имя Клим, точнее, его разговорная форма Климаш. Суффикс -ш- в восточнославянских именах выполнял роль уменьшительно-ласкательного или просто обиходного (ср. Павел — Павлиш, Кузьма — Кузмиш). От этого Климаша с помощью типично польского суффикса -евский образовали фамилию. Такая модель была характерна для шляхты и мещанства Речи Посполитой, а позже — для украинских и белорусских земель, вошедших в состав Российской империи. Фамилия означает буквально «принадлежащий Климашу» или «выходец из дома Климаша».

В русском языке фамилия закрепилась в форме Климашевский, хотя в польском оригинале могла выглядеть как Klimaszewski. Ошибка в написании, которую вы указали («Климашевсий» вместо «Климашевский»), — типичная для устной речи описка: звук «в» перед «с» оглушается, и на письме его иногда пропускают. Исторически правильный вариант — с буквой «в» в суффиксе.

Сословно предки Климашевских, скорее всего, не относились к высшей аристократии, но и не были крепостными. Фамилии на -ский в западнорусских губерниях часто носили мелкопоместная шляхта, однодворцы или духовенство. Встречается эта фамилия и у польских переселенцев, осевших в Сибири и на Дальнем Востоке. В отличие от массовых фамилий вроде Климов, Климашевский сохраняет региональный колорит: её носители — потомки людей, чей предок носил имя Климаш, а сама фамилия прошла через фильтр польской ономастики.