Фамилия Климуша образована от производной формы крестильного имени Климент. В основе лежит народный, обиходный вариант — Климуша, который в украинской и южнорусской традиции был распространён не меньше, чем полное церковное имя. Само имя Климент пришло из греческого языка; по одной версии, оно означает «милостивый», по другой — «виноградная лоза». Вторая версия связана с латинским словом clemens, но для ономастики важнее другое: имя было популярно среди простых людей, а значит, и его производные формы дали множество фамилий.

Модель образования здесь — нестандартная для русских фамилий, но типичная для украинских. Суффикс -уша принадлежит к уменьшительно-ласкательным, как и в формах Гришута, Петруша, Ивануша. Такие основы часто становились фамилиями без дополнительного суффикса принадлежности: не Климушин, а прямо Климуша. Это указывает на то, что фамилия закрепилась в среде, где было принято называть человека по уличному, домашнему прозвищу, а не по отчеству. Поэтому носитель фамилии Климуша, скорее всего, потомок человека, которого в быту звали именно так — ласково или коротко, без прибавления отчества.

Географически фамилия тяготеет к западным и центральным областям Украины, реже встречается в Беларуси и на юге России. В документах XVII–XVIII веков подобные формы нередки среди казаков и мещан. Сословной привязки нет: Климушей могли называть и крестьянина, и ремесленника, и священника — имя Климент почиталось в православии, поэтому его носило духовенство, но уменьшительная форма оставалась простонародной.

Интересная деталь: в польской ономастике есть параллельная фамилия Klimusza, что говорит о возможном влиянии польского языка на украинскую форму. Однако в русских говорах ударение чаще падает на второй слог — Климу́ша, тогда как в украинском — на первый. Если ваши предки писались с буквой «ы» в корне, это подтверждает именно украинское происхождение: в русской традиции скорее была бы форма Клемуша или Климушин.