Фамилия Кобернякова хранит в основе редкое слово, которого вы не найдете в современном литературном языке. Скорее всего, перед нами женская форма мужской фамилии Коберняков, а та, в свою очередь, образована от прозвища Коберняк. Это прозвище, по всей видимости, связано с диалектным глаголом «коберякать» или «коберничать» — в некоторых южнорусских и украинских говорах так говорили о человеке, который делает что-то неловко, неуклюже, суетливо, либо о том, кто ходит вперевалку, «кобенится». Корень здесь тот же, что и в слове «кобень» — так в старину называли неуклюжего, мешковатого человека или даже верхнюю распашную одежду (кобеняк). Таким образом, прозвище Коберняк мог получить либо нерасторопный, угловатый в движениях человек, либо, напротив, тот, кто любил покрасоваться, «выкобениваться» — диалекты фиксируют оба оттенка смысла.

Суффикс -як в основе характерен для прозвищ, образованных от глагольных корней (сравните: гуляка, трудяга). Фамилия сформировалась по стандартной модели: прозвище на -як дало основу, к которой добавили типичный русский патронимический суффикс -ов. В итоге Коберняков — буквально «сын Коберняка». Окончание -а указывает на то, что перед нами женский вариант фамилии.

Географически фамилия тяготеет к югу России и областям, граничащим с Украиной. Встречается она нечасто: например, в реестрах казачьих войск и в метрических книгах Курской и Воронежской губерний XIX века изредка попадаются Коберняковы. Это подтверждает версию о диалектном, местном происхождении прозвища — оно не было общерусским. В отличие от фамилий с корнем «кобел-» (Кобелев, Кобельков), которые связаны с названием животного, Коберняков имеет чисто прозвищную, описательную природу.

Если ваши предки носили эту фамилию, они, скорее всего, были крестьянами или однодворцами из южнорусских чернозёмных губерний. Прозвище давалось не по роду занятий, а по внешней черте или манере поведения — так в деревнях цепко подмечали особенности человека.