Фамилия Корейкий — редкий случай, где географическая привязка спорит с прозвищной, и обе версии имеют право на жизнь. Начнём с самого очевидного: основа «корей-» мгновенно отсылает к Корее. Однако носитель фамилии Корейкий вряд ли был корейцем по крови — скорее, так могли прозвать человека, побывавшего в тех краях, торговавшего с Востоком или просто имевшего узкие глаза и смуглую кожу. В русской традиции прозвища по этническому признаку давали легко: татарин, немец, лях. Кореец — более позднее и редкое, но возможное.

Вторая, не менее правдоподобная версия — от названия села или деревни Корейка, Корейки, Корейково. Такие топонимы встречаются на западе России и в Беларуси (например, Корейки в Витебской области). В этом случае фамилия образована по модели «Корейка → Корейкий» с помощью суффикса -ский, который указывает на принадлежность к местности. Суффикс -ский типичен для польской и южнорусской шляхты, но встречается и у крестьян, переселившихся из одного села в другое. Так что предок мог быть помещиком из Кореек или просто выходцем оттуда.

Форма «Корейкий» с окончанием -ий, а не -ой, тоже показательна. В русских фамилиях на -ский часто встречается вариант на -ий (Троицкий, Знаменский), но здесь скорее всего украинское или белорусское влияние: в этих языках прилагательные мужского рода в именительном падеже оканчиваются на -ий (корейкий, а не корейкой). Это сужает ареал бытования фамилии до западнорусских земель, где смешивались восточнославянские говоры.

Словообразовательная модель проста: основа «корей-» (от этнонима или топонима) + суффикс -ск- + окончание -ий. Никаких редких морфем. Фамилия недвусмысленная, но редкая: в современных базах данных она почти не встречается, что подтверждает её локальный характер. Если ваши предки носили фамилию Корейкий, скорее всего, они жили на границе современной Беларуси и России, в регионе, где прозвища по месту жительства были нормой, а этнические прозвища — редкостью.