Фамилия Кортаев — редкий случай, когда в основе лежит не имя и не профессия, а прозвище, связанное с внешностью или характером. Её корень — тюркское слово «корта» (korta), которое в разных диалектах означало «коротышка», «низкорослый», а иногда и «куцый», «обрубок». В русских говорах, особенно на юге и в Поволжье, слово «кортай» закрепилось за невысоким, приземистым человеком. Так что первый Кортаев — это, скорее всего, «сын Кортая», то есть потомок человека, которого прозвали за небольшой рост.

Суффикс -ев указывает на русскую патронимическую модель: фамилии на -ов/-ев образовывались от основ на твёрдый или мягкий согласный. Здесь основа «Корта» дала бы Кортин, но форма «Кортаев» говорит о том, что прозвище звучало как «Корта́й» — с конечным «й», поэтому фамилия пошла по модели «Николай — Николаев». Это нестандартный для тюркских заимствований переход: обычно такие слова давали фамилии на -ин (ср. Бахтин от Бахта), но здесь сработала аналогия с русскими именами на -ай.

Географически фамилия тяготеет к регионам активных русско-тюркских контактов: Нижегородская область, Татарстан, Оренбуржье. Встречается она нечасто, и в дореволюционных переписях её носители — в основном государственные крестьяне и однодворцы, то есть люди, не знавшие крепостной зависимости. Это косвенно подтверждает, что прозвище могло возникнуть на южных окраинах, где оседали служилые люди и вольные переселенцы.

В ономастике нет единого мнения о том, стоит ли связывать Кортаева с калмыцким словом «көртә» (с отрубленной головой) — слишком мрачная и маловероятная для бытового прозвища версия. Куда правдоподобнее объяснение через диалектное «кортай» — «коротышка», которое встречается в словаре Даля. Кстати, в псковских говорах есть даже глагол «кортаться» — «ёжиться, сжиматься», что тоже могло дать прозвище сутулому или боязливому человеку.

Сравните с однокоренными фамилиями: Кортунов (от «кортун» — низкорослый), Корташов (с суффиксом -аш, усиливающим прозвищный оттенок). Кортаев стоит особняком: его «ай» в финале — не типично русский суффикс, а часть тюркского корня, что выдает смешанное происхождение предков. Так что если вы Кортаев, ваши предки, скорее всего, жили на стыке культур — и получили фамилию за то, что были ниже ростом, чем соседи.