Фамилия Корытцына — женская форма от Корытцын, и её стоит разбирать через мужской вариант. В основе лежит слово «корыто», но не в современном бытовом значении «ванна для стирки», а в более широком: так в старину называли долблёное деревянное изделие — лоток, желоб, выдолбленное бревно. Отсюда и прозвище Корыто, которое мог получить либо мастер, делавший такие корыта (бондарь или плотник), либо человек, которого за что-то так прозвали — например, за медлительность или за привычку «сидеть у корыта», то есть заниматься домашним хозяйством.

Суффикс -ын- (в мужском роде -ын) указывает на принадлежность: Корытцын — буквально «сын Корытца» или «человек из семьи Корытца». Форма Корытца — это уменьшительное от Корыто, и фамилия образовалась не напрямую от «корыта», а от ласкательного или уменьшительного прозвища. Такая модель (-ц- + -ын) встречается реже, чем стандартное -ов или -ин, и характерна для северных и центральных русских говоров. В документах XVI–XVII веков встречаются крестьяне с прозвищем Корыто и Корытко, особенно в новгородских и вятских землях.

Географически фамилия Корытцын (и Корытцына) тяготеет к северо-востоку России: Вятка, Пермь, Костромская область. Там бондарное ремесло было развито, и прозвища по предметам обихода давали часто. В некоторых говорах «корытцем» называли также неглубокий овраг или ложбину — тогда прозвище могло быть топографическим, данным человеку, жившему у такого оврага.

Написание с «ы» после «ц» — архаичное, дореволюционное: по правилам старой орфографии после «ц» писали «ы» (как в фамилиях Цыпкин, Синицын). В советское время написание закрепилось, хотя по современным нормам следовало бы «Коритцына» (с «и»), но фамилии не подчиняются общим правилам. Так что Корытцына — это не ошибка, а исторически сложившаяся форма, которая сохраняет старую орфографию.

Сословно фамилия почти наверняка крестьянская или посадская: дворянские роды с таким корнем неизвестны. В метрических книгах XIX века Корытцыны встречаются среди государственных крестьян и мещан. Сегодня фамилия редкая, её носителей можно встретить в основном в Кировской и Пермской областях.