Фамилия Котелкин образована от мирского имени или прозвища Котелка. В основе, скорее всего, лежит старинное название кренделя, который выпекали в котле — отсюда и прозвище для пекаря или торговца сдобой. Такие «внутрисемейные» имена были распространены на Руси до введения обязательных фамилий, и человека могли называть Котелкой по его ремеслу или любимому лакомству.

Менее вероятна, но тоже возможна связь со словом «котёл». Если предок не пёк крендели, а работал с металлом — лудил посуду, чинил самовары или варил котлы, — его тоже могли прозвать Котелкой. В пользу этой версии говорит то, что в русских говорах «котелка» иногда означала не только выпечку, но и медный котелок или небольшой сосуд.

Фамилия построена по стандартной патронимической модели: суффикс -ин указывает на принадлежность («чей?» — сын Котелки). В отличие от фамилий на -ов, которые чаще образовывались от основ на твёрдый согласный, форма Котелкин типична для имён и прозвищ, оканчивающихся на -а. Географически фамилия встречается в центральных и северных областях России, где были сильны традиции прозвищных имён, но массового распространения не получила — она остаётся довольно редкой.