Фамилия Котелков образована от прозвища Котелок, а не напрямую от слова «котёл». Разница существенная: уменьшительно-ласкательная форма указывает не на массивный предмет, а на что-то поменьше — либо на конкретный бытовой сосуд (котелок для варки пищи в дороге или в поле), либо на головной убор (котелок — жёсткая шляпа с округлой тульёй, вошедшая в моду в XIX веке). Если прозвище древнее, скорее всего, речь о посуде: так могли назвать человека невысокого роста, коренастого, с круглой головой, либо того, кто постоянно носил с собой котелок — пастуха, солдата, бродячего ремесленника.

Суффикс -ов указывает на стандартную русскую патронимическую модель: Котелков — сын Котелка. В XVI–XVII веках такие фамилии закреплялись за крестьянами и посадскими людьми в центральных и северных губерниях. В этом смысле Котелков ничем не отличается от тысяч других «ремесленных» фамилий вроде Горшков, Чугунков или Ложкин.

Интересная деталь: фамилия Котелков встречается заметно реже, чем Котлов или Котёлкин. Если Котёлкин образован от той же основы, но с другим суффиксом (-ин), то Котелков тяготеет к южнорусским и поволжским говорам, где ударение на второй слог (Котелко́в) сохраняется. В северных диалектах чаще говорили «котёл» и «коте́льный», поэтому фамилия там могла бы звучать иначе — например, Котёльников. Таким образом, по фамилии Котелков можно с осторожностью предполагать, что предки жили южнее Москвы или в казачьих областях.

В ономастических справочниках специального разбора фамилии Котелков нет, но она входит в общий ряд прозвищ от названий посуды и утвари, который подробно описан у Б. Унбегауна в «Русских фамилиях». Никаких дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано — это однозначно крестьянская или мещанская фамилия, что подтверждается и её словообразованием, и отсутствием в гербовниках.