Фамилия Котляева образована от прозвища Котляй. Основа здесь — слово «котёл», а не «кот» или «котлета», как может показаться на первый взгляд. Суффикс -яй в русских прозвищах указывал на носителя характерного действия или свойства: Котляй — это человек, имеющий дело с котлами. Чаще всего так называли котельщика — мастера, который делал, чинил или продавал котлы. В старину котёл был не просто посудой, а важным хозяйственным предметом: в нём варили пищу, топили воск, выпаривали соль. Поэтому ремесло котельщика было востребованным и уважаемым.

Словообразовательная модель типична для русских фамилий на -ев: сын Котляя становился Котляевым, а дочь или жена — Котляевой. Суффикс -ев, а не -ов, указывает на то, что в основе лежит мягкий согласный (я). Такая модель распространена в центральных и южных областях России. В северных говорах могла бы появиться фамилия Котляевых (с окончанием -ых), но форма Котляева закрепилась как стандартная литературная.

Интересно, что фамилия Котляева — не единственная в этом ряду. Существуют однокоренные Котляров, Котляренко, Котляревский. Все они восходят к тому же ремеслу, но различаются суффиксами и региональной привязкой. Котляревский, например, — типично украинская или польская форма, а Котляева — русская, с более архаичным прозвищным суффиксом -яй, который в современном языке почти не используется. Эта деталь делает фамилию редкой: носителей Котляевых в России немного, и встретить её можно скорее в Рязанской, Тамбовской или Воронежской областях — в зоне, где исторически было развито кузнечное и медное дело.

Версия о происхождении от слова «котлета» маловероятна: это заимствование из французского появилось в русском языке только в XIX веке, когда фамилии уже давно сложились. А вот связь с тюркским словом «котля» (котёл) возможна, но избыточна — русская основа объясняет всё без привлечения других языков. Так что предки современных Котляевых с высокой вероятностью были ремесленниками, работавшими с металлом.