Фамилия Котлягин образована от прозвища Котляга. В основе лежит слово «котёл» — ёмкость для варки пищи. Прозвище Котляга мог получить либо котельщик — мастер, делавший или чинивший котлы, либо человек, чья внешность или характер напоминали котёл, например, круглолицый, полный или шумный. Суффикс -яг(а) в русских прозвищах придаёт слову разговорную, а иногда и пренебрежительную окраску (ср. «бродяга», «растяпа»). Таким образом, Котляга — это, скорее всего, прозвище по ремеслу, а не по имени.

Модель фамилии указывает на её русское происхождение. Суффикс -ин типичен для фамилий, образованных от основ на -а, -я. Фамилия Котлягин буквально означает «сын Котляги» или «принадлежащий Котляге». По такой же схеме сложились фамилии Котлов, Котёлкин, Котельников — все они восходят к тому же корню, но с разными суффиксами. Котлягин стоит в этом ряду особняком: редкий суффикс -яг- встречается нечасто, что делает фамилию более локальной и специфичной.

Географически фамилия Котлягин тяготеет к центральным и южным регионам России. В дореволюционных переписях она встречается в Тамбовской, Рязанской и Воронежской губерниях. Это косвенно указывает на то, что прозвище Котляга бытовало в среде крестьян и ремесленников, а не в дворянской среде. В дворянских родословных книгах Котлягины не значатся — фамилия осталась простонародной.

Поскольку фамилия редкая, её носители, скорее всего, происходят из одного или нескольких родов, разошедшихся по разным губерниям. Современные Котлягины, если захотят, могут попробовать проследить родство по документам XIX века — из-за редкости фамилии шанс найти общих предков выше, чем у обладателей массовых фамилий вроде Иванова или Кузнецова.