Фамилия Котрова — женская форма, мужская — Котров. В русской традиции фамилии на -ов обычно образовывались от основ на твёрдый согласный, и Котров подчиняется этому правилу. Основа здесь — «Котр-», что сразу вызывает вопрос: что это за корень?

Самая прямая и правдоподобная версия — от прозвища или имени Котр. В древнерусском языке слово «котр» или «котер» могло означать «кошель», «мешок» или «сума». Прозвище Котр могли дать человеку, который носил с собой большой кошель, торговал или, наоборот, был скуповат — отсюда и «котомка». Вторая версия, менее распространённая, но возможная: «котр» как вариант слова «кот» — в некоторых говорах так называли кота-самца. Тогда прозвище могло указывать на внешность или повадки: ленивый, вальяжный или, наоборот, ловкий.

Суффикс -ов указывает на принадлежность: Котров — «сын Котра» или «из семьи Котра». Фамилия довольно редкая, её география неширокая. Встречается преимущественно в центральных и северных областях России, в частности в Вологодской и Костромской губерниях, что подтверждается данными переписей XIX века. Там прозвища, связанные с бытовыми предметами и животными, были особенно живучи.

Интересная деталь: в отличие от более частых фамилий Котов или Котлов, Котрова сохраняет редкую основу. Если Котовых по всей России десятки тысяч, то Котровых — единицы на область. Это говорит о том, что фамилия могла возникнуть в одном конкретном поселении и не распространилась широко. Предки носителя фамилии, скорее всего, были крестьянами или ремесленниками, а прозвище Котр закрепилось за основателем рода как раз из-за его занятия — например, он шил котомки или торговал вразнос.

Альтернативная гипотеза — связь с топонимом. В некоторых источниках упоминается деревня Котрово (например, в бывшей Тверской губернии). Тогда фамилия могла образоваться от названия места жительства: «из Котрова» — Котров. Но это менее вероятно, так как суффикс -ов в таких случаях обычно присоединяется к основе села, а не к жителю напрямую. В любом случае, корень один и тот же — котр.