Фамилия Котрунов образована по типичной для восточнославянских фамилий модели: к основе на твёрдый согласный добавляется суффикс -ов, указывающий на принадлежность («чей?»). Значит, в основе лежит прозвище или нецерковное имя Котрун. Вопрос только в том, что оно означало.

Самая прямая версия — связь с диалектным словом «котрун». В южнорусских и украинских говорах так называли кота, иногда с оттенком пренебрежения (большой, старый, ленивый кот). В этом случае прозвище могли дать человеку за какие-то кошачьи повадки: хитрость, любовь к безделью, мягкую походку или, наоборот, за то, что он часто мяукал или дрался. Менее вероятна, но возможна связь с глаголом «котрусить» — говорить ерунду, болтать вздор. В таком случае Котрун — это пустомеля.

В пользу первой версии говорит существование в русской ономастике целого гнезда «кошачьих» фамилий: Котов, Кошкин, Котяев, Котенков. Котрунов стоит в этом ряду, но заметно реже — его основа не общеупотребительна, а диалектна. Именно это и делает фамилию регионально привязанной: её корни, скорее всего, в областях, где бытовало слово «котрун» — на юге России или в сопредельных землях Украины.

При этом нельзя исключать, что Котрун — это не прозвище, а искажённое каноническое имя. Например, уменьшительная форма от редкого крестильного имени Кодрат (от лат. quadratus — «квадратный, четырёхугольный»), которое в бытовой речи могло звучать как Котрат, а потом перейти в Котрун. Но это объяснение требует дополнительных допущений и менее экономно, чем прямое происхождение от нарицательного слова.

Таким образом, носитель фамилии Котрунов, скорее всего, потомок человека, которого в деревне прозвали Котруном — за сходство с котом или за привычку болтать без умолку. Фамилия эта редкая, недворянская, крестьянская или мещанская, и в дореволюционных списках её стоит искать именно в южных губерниях.