Фамилия Котягин образована от прозвища или мирского имени Котяга. Самое прямое объяснение: Котяга — это «большой, толстый кот». Такое прозвище давали человеку полному, добродушному, милому, а иногда и хитрому, но в целом довольному жизнью. Модель образования фамилии проста и прозрачна: суффикс -ин указывает на принадлежность («чей?»), то есть Котягин — буквально «сын Котяги» или «человек из рода Котяги». Это одна из самых распространённых моделей русских фамилий, и здесь она не вызывает споров.

Однако есть и другие версии происхождения основы. По одной из них, прозвище связано с глаголом «котяшить» — «бить, колотить». В этом случае Котягой могли назвать драчуна или человека с тяжёлой рукой. Эта версия менее популярна, но лингвистически возможна: звуковой переход от «котяшить» к прозвищу Котяга вполне естественен для живой речи.

Третья гипотеза относит Котягу к разряду мирских имён. В дохристианской традиции ребёнка могли назвать именем животного, чтобы природа приняла его как своего и передала ему полезные качества — в данном случае кошачьи хитрость, живучесть или независимость. Такие имена были не редкостью, и со временем они закреплялись как основные, вытесняя крестильные. В итоге именно это бытовое имя и легло в основу фамилии.

Из трёх версий самой правдоподобной выглядит первая — прозвище по внешнему сходству с большим котом. Она опирается на прямое значение слова и типичную для русских говоров модель прозвищ по животным. Версия с глаголом «котяшить» менее распространена, а гипотеза о мирском имени, хоть и логична, не имеет дополнительных подтверждений именно для этого корня.

Фамилия Котягин встречается преимущественно в центральных и северных областях России, что типично для фамилий на -ин. В написании она устойчива: ударение падает на второй слог — Котя́гин. Родственные фамилии — Котов, Котенков, Котляров — образованы от других основ, но объединены тем же «кошачьим» корнем.