Фамилия Котышков — один из тех случаев, когда за привычным звучанием кроется неочевидная основа. На первый взгляд корень «кот» наталкивает на мысль о домашнем животном, но в русских прозвищах и фамилиях этот корень редко означал прямо «кота». Чаще всего он связан с глаголом «коты́хать» — в южнорусских и украинских говорах так говорили о качании, укачивании, баюканьи. Отсюда и прозвище Котыш — для человека, который укачивал детей, нянчился с ними, или же для того, кто сам отличался медлительной, «качающейся» походкой. Суффикс -ыш в русских прозвищах (сравните Малыш, Глупыш, Крепыш) придаёт основе значение носителя признака или действия, так что Котыш — это «тот, кто коты́хает» или «тот, кого коты́хают».

Модель образования фамилии проста и типична для центральной России: прозвище Котыш + притяжательный суффикс -ов. Суффикс -к- в варианте Котышков — это не уменьшительность, а скорее фамильный «довесок», который мог появиться при оформлении фамилии в документах (например, чтобы отличить от уже существовавшей фамилии Котышев). Впрочем, более вероятна версия, что Котышков — это вариант написания отчества от Котышко, где -ко — украинский или белорусский уменьшительный суффикс. В таком случае Котышков буквально означает «сын Котышка», а исходное прозвище Котышко — ещё одна форма того же корня.

Другая, менее распространённая версия, отталкивается от слова «котышка» — так в некоторых регионах называли небольшую круглую булку, каравай. Тогда прозвище могло достаться пекарю или любителю выпечки. Но эта гипотеза слабее, так как слово «котышка» в этом значении фиксируется редко и локально, а глагольная основа «коты́хать» гораздо шире представлена в диалектной лексике.

Фамилия встречается в основном в Поволжье и на юге России — в Саратовской, Волгоградской, Ростовской областях. Это зона, где смешивались великорусские и украинские говоры, что хорошо объясняет появление суффикса -ко в основе. В дореволюционных переписях Котышковы числились преимущественно крестьянами и мещанами, никакого дворянского корня у фамилии нет.

Таким образом, ваш предок Котышков с большой долей вероятности был человеком, получившим прозвище за привычку качать кого-то (может, работал нянькой или пастухом) или за плавную, покачивающуюся походку. Или же, если принять украинский след, — просто был сыном Котышка, то есть «маленького Котыша».