Фамилия Козадаев происходит от мирского имени Козадай, а оно, в свою очередь, — от названия птицы козодой. Слово «козодой» — калька с латинского Caprimulgus, и связано оно с древним поверьем, что эти ночные птицы доят коз, вызывая у тех слепоту. Легенда не имеет ничего общего с действительностью, но была настолько живучей, что её упоминал ещё Аристотель.

Козодоев, как и сов, из-за ночного образа жизни и необычного голоса часто считали птицами зловещими. В некоторых графствах Англии их называли «трупными птицами», в других — верили, что в них переселяются души умерших некрещёными. Услышать крик козодоя в темноте — плохая примета, а если птица сядет на дом — к болезни или смерти. Тем не менее, давая ребёнку имя Козадай, родители вкладывали в него иной смысл: они словно «представляли» младенца природе, надеясь, что тот перенимает полезные качества этого живого существа.

В написании фамилии отразилось «аканье» — замена буквы «о» на «а» в безударных слогах. Так имя Козодай превратилось в Козадай, а от него образовалась фамилия Козадаев: «чей?» — потомок Козадая. Это типичная русская патронимическая модель с суффиксом -ев, указывающая на происхождение от прозвища или мирского имени.