Фамилия Козадой — редкий пример фамилии-предложения, где в основе лежит целое повелительное высказывание. Она образована по той же модели, что и известные украинские фамилии вроде Покуй (от «покуй» — успокойся), Держикрай, или, скажем, русская Непейвода. Здесь глагол «коза» в форме повелительного наклонения (от «козать» или «козати» — в южнорусских и украинских говорах означало «говорить», «сказать») соединяется с существительным «дой» — надои, молоко. Буквально: «скажи (дай) молоко» или «говори о дойке». Это не прозвище по профессии, а скорее бытовая ироничная или ситуативная кличка — возможно, так могли назвать доярку, которая требовала молока, или человека, постоянно заговаривающего о хозяйстве.

Словообразовательная модель на -ой здесь нестандартна: это не суффикс, а часть глагольной формы, которая «застыла» в фамилии. В украинской ономастике такие конструкции встречаются чаще, чем в русской, и это указывает на вероятное происхождение фамилии из украинской или южнорусской среды (Черниговщина, Полтавщина, Курская или Воронежская области). Фамилия не получила широкого распространения — она фиксируется в основном в единичных случаях, что говорит о её локальном, возможно, хуторском происхождении. В официальных документах XIX века встречаются варианты написания с буквой «з» (Козадой) и, реже, с «с» (Касадой), но первый вариант выглядит более аутентичным, так как сохраняет связь с глаголом «козать».

В отличие от фамилий, образованных от крестильных имён или названий ремёсел, Козадой не даёт прямого указания на занятие предка. Скорее, это отражение народного юмора или характерной черты поведения. Если искать параллели, то логичнее всего сравнивать её с фамилиями вроде Дериглаз или Сорвиголова, где в основе — целая фраза, закреплённая за человеком. В словарях фамилий (например, у Б. Унбегауна) подобные конструкции описываются как «повелительные фамилии», характерные для восточнославянского именника, но Козадой среди них — один из наиболее редких и трудно интерпретируемых вариантов.