Фамилия Кожабай — редкий случай в русском ономастиконе, и её происхождение ведёт не в славянскую, а в тюркскую языковую среду. Разбирать её через привычные русские суффиксы -ов или -ин бесполезно: перед нами цельное сложное имя, которое стало фамилией без дополнительных формантов. Основа состоит из двух частей: «кожа» и «бай».

Первая часть, «кожа», в казахском и других тюркских языках означает «кожа», «шкура», но в личных именах она часто выступает в переносном значении — «крепкий», «выносливый», «живучий» (как кожа, которая защищает). Вторая часть, «бай», — один из самых распространённых компонентов тюркских имён, обозначающий «богач», «господин», «хозяин». В дореволюционной Средней Азии и Казахстане «бай» было и социальным титулом, и частью имени, указывающей на достаток или уважение.

Таким образом, Кожабай — это составное личное имя, которое переводится примерно как «крепкий, выносливый хозяин» или «богатый кожей» (в смысле «обладающий крепкой кожей», то есть здоровый и стойкий). Скорее всего, предок носителя этой фамилии был казахом, киргизом или представителем другого тюркского народа, и его имя со временем закрепилось как фамилия в русских документах. Такое могло произойти во время переписи или при получении паспортов в советское время, когда родовые имена записывали как фамилии без изменений.

Географически фамилия Кожабай чаще всего встречается в Казахстане и среди казахской диаспоры в России, особенно в регионах, граничащих с Казахстаном — Оренбургской, Астраханской, Омской областях. В русском языке она сохраняет исходное тюркское звучание и не склоняется по падежам, если принадлежит мужчине. Если же фамилия принадлежит женщине, то по правилам русской грамматики её лучше не склонять. Это типичный пример фамилии-имени, где социальный статус «бая» и физическая характеристика «кожи» слились в одно слово, которое носит уже не одно поколение.