Фамилия Кривлякина образована от прозвища Кривляка. Слово «кривляка» в русских говорах имело два основных значения: человек, который любит гримасничать, корчить рожи (кривляться), либо тот, кто ведет себя неестественно, ломается, паясничает. В основе лежит глагол «кривлять» — искажать, искривлять лицо или тело. Прозвище могли дать либо скомороху, либо просто человеку с подвижной мимикой и привычкой передразнивать других.

Модель образования типична для северных и центральных регионов России: суффикс -ин указывает на принадлежность («чей?»). Кривлякин — сын или потомок Кривляки. Фамилия закрепилась в форме женского рода Кривлякина, хотя исторически мужская форма — Кривлякин. В документах XVII–XVIII веков прозвища с таким корнем встречались среди крестьян и посадских людей, особенно в Вятской и Архангельской губерниях, где диалектное слово «кривляка» было в ходу.

Стоит различать эту фамилию с однокоренной Кривцов (от «кривец» — кривой человек) или Кривошеин. У Кривлякина другая смысловая окраска: прозвище не про физический изъян, а про поведение. В словаре русских фамилий Б. Унбегауна это слово не упоминается, но оно фиксируется в региональных словарях Даля и говоров Русского Севера.

В современной России фамилия редкая, встречается в основном на Урале и в Западной Сибири — туда переселялись крестьяне из северных губерний в XIX веке. Если ваши предки носили эту фамилию, вероятно, они были из среды свободных государственных крестьян, а не крепостных, потому что на Русском Севере крепостное право почти не распространялось.