Фамилия Кривовязый — редкий случай, когда прозвище практически не изменилось при переходе в наследственное имя. В ней нет типичных фамильных суффиксов (-ов, -ев, -ин), поэтому перед нами, скорее всего, застывшая форма прозвища, которое дали человеку и которое закрепилось за его потомками в неизменном виде. Такие «чистые» фамилии без оформления чаще встречались на юге России, в украинских и белорусских землях, где модель «прозвище = фамилия» была распространена шире.

Основа фамилии — прилагательное «кривой» и существительное «вязь» (шея). Прозвище Кривовязый могли дать человеку с заметной особенностью — искривлённой шеей, возможно, от рождения, после травмы или болезни. В народе такие прозвища были точны и необидны по сути: они просто фиксировали внешнюю примету, чтобы отличить одного человека от другого. В старых документах встречаются аналогичные прозвища: Кривошея, Кривошей — они того же корня и описывают ту же черту.

Интересно, что в русском языке слово «вязь» в значении «шея» уже устарело и почти вышло из употребления. Мы привыкли к «выя» (церковнославянский вариант) или просто «шея», а «вязь» осталась разве что в диалектах и в составе фамилий. Этот архаичный элемент делает фамилию Кривовязый особенно ценной для историков языка — она сохранила старую лексическую форму, которую в бытовой речи уже не услышишь.

Версия о том, что прозвище могло быть связано с родом занятий (например, с плетением или вязанием чего-то кривого), маловероятна. Слово «вязь» в значении «плетение» или «связка» тоже существует, но в сочетании с «кривой» оно не образует устойчивого профессионального термина. Куда естественнее объяснение через внешность: человек с кривой шеей.

Фамилия очень редкая. В современных базах данных и телефонных справочниках её носители встречаются единично, в основном на юге России и в восточных областях Украины. Это подтверждает версию о южнорусском или малороссийском происхождении. Известных исторических деятелей с такой фамилией нет, что для столь необычного прозвища ожидаемо — оно осталось локальным и не попало в дворянские родословные книги.