Фамилия Кривцовы — одна из тех, что образована от прозвища, а не от крестильного имени. В основе лежит прозвище Кривой. В старину его давали не только человеку с физическим недостатком (кривой глаз или нога). Слово «кривой» имело более широкий смысл: несправедливый, лукавый, изворотливый. В народе говорили: «Кривой — не слепой», подчёркивая хитрость, а не увечье. Так что предок-родоначальник мог быть не кривым на один глаз, а просто себе на уме.

Модель образования типична для русских фамилий XVI–XVII веков: суффикс -ов присоединяли к основе, оканчивающейся на твёрдый согласный. Кривой → Кривцов. Суффикс указывал на принадлежность: «чей сын?» — Кривцов, то есть сын Кривого. Эта модель была особенно распространена среди крестьян и посадских людей, когда фамилии только начинали закрепляться.

Стоит заметить, что фамилия входит в обширное гнездо «кривых» фамилий: Кривов, Кривоногов, Кривошеев, Криворучко. Все они — вариации на тему одного прозвища, но Кривцовы выделяются тем, что основа здесь — чистое прилагательное без дополнительного уточняющего корня. Это говорит о древности прозвища: скорее всего, оно возникло ещё в дописьменную эпоху, когда одно слово могло заменить целое описание человека.

Точно определить место и время появления фамилии Кривцовы невозможно. Однако по архивным данным, в документах XVII века она встречается в разных уездах России, что говорит о её широком бытовании. Кривцовы были и среди служилых людей (дворяне Кривцовы упоминаются в родословных книгах), и среди крестьян. Так что сословной привязки у фамилии нет — её носили и боярские дети, и пашенные мужики.