Фамилия Кудрява — редкий пример, где прозвище перешло в фамилию почти без изменений, сохранив форму женского рода. В большинстве случаев русские фамилии на -а/-я имеют другое происхождение (украинское, белорусское или образованы от женского имени), но Кудрява скорее всего закрепилась в документах именно так, как человека называли в быту: «Кудрява» — то есть кудрявая.

Основа прозвища — слово «кудерь» (кудри, курчавая прядь). Прямое значение понятно: так могли назвать человека с вьющимися от природы волосами. Но ономастика знает и переносные смыслы. В народной речи «кудрявым» называли не только шевелюру, но и речь — витиеватую, изысканно-манерную, с нарочитыми украшениями, которую считали неестественной. Прозвище Кудрява могло закрепиться за красноречивым говором, чьи обороты казались окружающим слишком затейливыми.

Есть и третья версия, менее очевидная, но имеющая под собой языковую почву. В диалектах глагол «кудрявить» означал не только завивать, но и «журить, бранить, делать выговор». Отсюда — прозвище Кудрява для человека, который часто делал замечания, слегка бранил за проступки. Такое «профессиональное» именование могло приклеиться к строгому старосте, учителю или старшему в семье.

Фамилия встречается в основном на юге России и в Украине, где форма прилагательного женского рода в родовом прозвище — обычное дело (сравните: Борода, Голова, Кривда). Сейчас Кудрява — фамилия нечастая, и её носители, скорее всего, потомки одного человека, получившего это прозвище по одной из трёх причин: за кудри, за манеру говорить или за привычку делать выговоры.