Фамилия Кулай — редкая, но её происхождение можно проследить по двум основным версиям, и обе имеют право на существование.

Первая и самая прозрачная версия — славянская. В украинских говорах слово «кулай» означало «большой кулак». Скорее всего, прозвище Кулай получил рослый, сильный человек с крупными руками — либо физически мощный, либо тот, кто славился крепким ударом. Такие прозвища по внешним или физическим признакам были обычным делом в среде крестьян и ремесленников: они легко закреплялись за человеком и переходили к его детям как фамилия.

Вторая версия — тюркская. Имя Кулай могло образоваться от древнего татарского корня «кул» (раб божий, товарищ, спутник, работник, воин) с помощью уменьшительно-ласкательного аффикса -ай. В таком случае фамилия несёт не прозвищный, а именной характер: её давали по личному имени предка. Тюркские имена с элементом «кул» широко бытовали среди татар, башкир и других народов Поволжья, а затем, при переходе в русскую среду, оформлялись по русской модели — без суффикса (чистая основа) или с суффиксами -ов/-ев.

Фамилия Кулай — это как раз вариант без суффикса, что указывает на её относительно позднюю фиксацию или на сохранение исходной формы в устной традиции. Похожая модель встречается у фамилий типа Толмай, Шумай, Бурнай.

Ранние письменные свидетельства подтверждают бытование родственных форм. В «Ономастиконе» С.Б. Веселовского упомянут Кулаев Яков Семенов, посадский человек из Твери (1614 год). Это показывает, что уже в начале XVII века основа Кулай была в ходу на русском Северо-Западе.

Таким образом, носитель фамилии Кулай может происходить либо от крепкого, крупного предка-славянина, либо от человека с тюркским именем Кулай. Обе версии правдоподобны, и выбор между ними зависит от конкретной семейной истории и региона: на Украине и в южнорусских областях вероятнее первая, в Поволжье и Приуралье — вторая.