Фамилия Кульгаевы образована от прозвища Кульгай. В основе лежит диалектное слово «кульга» — так в русских говорах называли хромого человека, того, кто прихрамывает или ходит с трудом. Суффикс -ай в прозвищах и фамилиях нередко придавал слову оттенок характерного признака (сравните: Гуляй, Косай, Молчай). Таким образом, Кульгай — это человек с заметной хромотой, и фамилия Кульгаев, а в вашем случае Кульгаевы, прямо указывает на эту особенность предка.

Фамилия Кульгаевы — вариант фамилии Кульгаев, но с окончанием -ы, типичным для множественного числа в русских фамилиях, когда речь идёт о целой семье или роде. В документах XIX — начала XX века такая форма часто встречалась в переписях и метриках: «Кульгаевы» значило «семья Кульгаевых». Сама фамилия — относительно редкая, её географическое ядро, скорее всего, связано с регионами, где бытовало слово «кульга»: это северные и центральные области России, а также Поволжье. Встречаются Кульгаевы и в среде старообрядцев, где прозвища такого типа нередко закреплялись в качестве фамильных.

Интересно, что в некоторых говорах «кульга» могло означать не только хромоту, но и неловкость, неуклюжесть в движениях. Поэтому прозвище Кульгай иногда давали не столько физически больному человеку, сколько просто медлительному или неуклюжему — в бытовой оценке, не обязательно обидной. В любом случае, фамилия Кульгаевы — это не отсылка к имени или профессии, а чисто прозвищное образование, что типично для русских фамилий, возникших из простонародной среды. Сословно такие фамилии чаще всего принадлежали крестьянам или посадским людям, реже — духовенству, где прозвища такого рода почти не встречались.

С точки зрения словообразования, фамилия Кульгаевы стоит в ряду однокоренных: Кульгин, Кульгавый, Кульгачёв. Но форма на -ай (Кульгай → Кульгаев) — одна из самых архаичных, она сохранила следы старых прозвищных моделей, которые в XVIII–XIX веках почти вышли из активного употребления. Поэтому для этимолога Кульгаевы — пример того, как диалектное слово, обозначавшее конкретный недостаток, превратилось в фамильный знак, который утратил бытовой смысл, но сохранил память о реальном человеке из прошлого.