Фамилия Курын — редкая и неоднозначная с точки зрения происхождения. Её основа — слово «кур» или «кура», но значение могло быть разным, и в зависимости от региона и диалекта прозвище могло характеризовать человека с разных сторон.

Самая прямая версия — от слова «кура» в значении «курица». В южных и западных говорах курицу часто называли именно «кура». Прозвище Кура могли дать человеку за внешность (сутулый, с взъерошенными волосами) или за поведение — суетливый, крикливый, как наседка. Суффикс -ын указывает на принадлежность: «Курын» — сын Куры, то есть «чей?» — Курын. Это типичная модель русских фамилий, образованных от прозвищ на -а: от Кура — Курын, от Рыба — Рыбин, от Синица — Синицын.

Вторая версия связана с тюркскими корнями. В тюркских языках «кур» означает «пояс», «поясница» или «сухой». Прозвище Кур или Кура могло достаться человеку сухощавому, поджарому, либо тому, кто носил широкий пояс (например, ямщик или воин). В этом случае фамилия Курын — русифицированная форма тюркского имени или прозвища, приспособленная к славянской модели.

Третья, менее распространённая гипотеза — связь с глаголом «курить» (в старом значении «дымить», «коптить»). Прозвище Кура мог получить кузнец или человек, работающий у печи, чья одежда и лицо вечно были в копоти. Но эта версия слабее: фамилии от глаголов чаще образуются через суффикс -ов (Курилов, Курицын), а форма Курын — от существительного.

Фамилия Курын встречается в основном в центральных и южных областях России, а также у украинцев, где слово «кура» особенно распространено. Встречаются варианты написания Курен, Курин, но это разные фамилии: Курин чаще всего связан с именем Кур (сокращённое от Кирьян или Кирилл), а Курын — именно с прозвищем.

Итог: скорее всего, ваш предок получил прозвище Кура за сходство с птицей или за характер. Фамилия — не дворянская, крестьянская или мещанская, что подтверждается её словообразованием: суффикс -ын типичен для простонародных фамилий, особенно в южнорусских и украинских землях.