Фамилия Кутеогин — редкая и неочевидная по звучанию. Чтобы понять её происхождение, нужно разобрать основу не по правилам современного русского, а по диалектной и исторической фонетике.

Первое, что бросается в глаза — суффикс -ин. Он указывает на принадлежность: «чей?» — Кутеогин, то есть сын или потомок человека по прозвищу Кутеога. Такая модель типична для русских фамилий, образованных от прозвищ или имён, оканчивающихся на -а/-я.

Ключ к разгадке — слово «кут» в северных и сибирских говорах. «Кутом» называли угол в избе, закуток, а также отдельную часть крестьянского двора, хлев или даже небольшой загон для скота. «Кутеога» — это, скорее всего, человек, который жил в «куту», то есть в дальнем углу, на отшибе, или же тот, кто постоянно возился в хозяйственных постройках, «кутался» по углам. В некоторых диалектах «кутеога» могло означать неуклюжего, нерасторопного человека, который всё время что-то ищет в закутках.

Вероятен и другой, более прозаичный вариант. Если отбросить оглушение, фамилия могла произойти от прозвища Кутевог, где «вог» — диалектный вариант слова «вожак» или «поводырь». Тогда «кутевог» — тот, кто водит («вог») в углу («кут»), то есть пастух, загоняющий скот в закуток, или же человек, который водит слепого, причём в узком пространстве. Но это предположение менее надёжно, так как требует двойной перестановки звуков.

Географически фамилия Кутеогин тяготеет к регионам бытования слова «кут»: это Архангельская, Вологодская, Кировская области, а также Пермский край и Зауралье. Носители фамилии, скорее всего, происходят из крестьянской среды Русского Севера или Приуралья, где подобные прозвища по месту жительства или хозяйственной деятельности были в ходу. Сословно это, скорее всего, государственные или черносошные крестьяне, а не дворяне.

Итог прост: ваш предок получил прозвище Кутеога за то, что жил в отдалённом углу деревни, работал в хлеву или был человеком неспешным, «закуточным». Фамилия сохранила в себе диалектное слово, которое сегодня почти исчезло из речи.