Фамилия Куторай — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. Скорее всего, она имеет искусственное, книжное происхождение и связана с духовным сословием. В среде семинаристов и выпускников духовных академий в XVIII–XIX веках было принято давать «говорящие» фамилии, образованные от латинских или греческих слов, часто в переводе на русский или с использованием иноязычных корней. Основа «кутор» здесь, вероятно, восходит к латинскому cutor — «попечитель», «страж», «хранитель» (сравните с procurator — прокуратор, управитель). Фамилия Куторай могла быть дана ученику или священнику как символ его роли — блюстителя веры или нравственности.

Модель образования нехарактерна для русских крестьянских фамилий. Суффикс -ай не является типичным русским фамильным формантом (как -ов, -ин или -ский). Он скорее напоминает украинские или белорусские прозвищные окончания (сравните: Куторга, Куцый), но в паре с латинским корнем выглядит как искусственная конструкция. Это ещё один аргумент в пользу семинарской гипотезы: преподаватели нередко придумывали фамилии, соединяя латынь с местными словообразовательными элементами.

Альтернативная версия — происхождение от прозвища Куторай, которое могло быть связано с диалектным словом «кутора» или «куторить» (говорить, болтать, шуметь). В таком случае Кутораем могли назвать говорливого, суетливого человека. Однако эта версия менее убедительна: в русских говорах слово «кутора» чаще означает «хомяк» или «крот», что дало бы иную семантику, а фамилий на -ай от таких основ почти нет. Кроме того, фамилия не встречается массово в крестьянской среде, что косвенно подтверждает её искусственное, а не прозвищное происхождение.

Географически фамилия Куторай крайне редка и не привязана к какому-то одному региону России. Единичные носители встречаются на юге России и в Центральном Черноземье, что совпадает с зоной распространения семинарских фамилий — там, где были крупные духовные училища (Курск, Воронеж, Харьков). В других славянских странах фамилия почти не фиксируется, что исключает её массовое миграционное происхождение.

Таким образом, наиболее вероятный ответ для носителя фамилии Куторай: ваши предки, с большой долей вероятности, были выходцами из духовного сословия — священниками, дьяконами или семинаристами, которым дали фамилию по латинскому слову «cutor» (попечитель, страж). Это фамилия-символ, а не бытовое прозвище, и она указывает на образованную среду, а не на крестьянский или ремесленный род.