Фамилия Кварая звучит не по-русски, и это верная догадка: её корни ведут на Кавказ, а точнее — в Западную Грузию. Это типичная мегрельская фамилия, что выдают характерные окончания и структура. В мегрельском языке, в отличие от общегрузинского, распространён суффикс -ая (-ია), который выполняет ту же роль, что русское -ов или -ин: указывает на принадлежность роду. Поэтому Кварая означает «из дома Квара» или «потомок Квара».

Основа фамилии — личное имя или прозвище Квара. Его значение спорно, но наиболее вероятная версия отсылает к грузинскому слову «квари» (ქვარი) — «скала», «утес». Прозвище Квара могли дать человеку крепкому, несгибаемому, либо жившему в скалистой местности. Встречается и другая гипотеза: связь с древним мегрельским именем Квария, которое, в свою очередь, могло быть образовано от названия тотема или божества, но эта версия менее обоснована и не имеет прямых лингвистических подтверждений.

Географически фамилия Кварая привязана к региону Самегрело (Мегрелия) на западе Грузии, особенно к районам Зугдиди, Чхороцку и Хоби. В России и других странах она появилась в результате нескольких волн миграции, в основном в XX веке. Из-за грузинской системы передачи фамилий, где окончание не меняется по родам, Кварая — это и мужской, и женский вариант. Никакой адаптации под русские суффиксы (вроде Квараев) в исконном варианте не происходит, хотя в паспортах советского времени иногда встречались искажённые формы.

Сословно предки Кварая могли быть как крестьянами, так и дворянами (азнаури) — в Мегрелии многие фамилии не указывали на чёткую социальную принадлежность. Важнее то, что носители этой фамилии, как правило, сохраняли родовую память и традиционные мегрельские обычаи, даже переселившись за сотни километров от исторической родины.