Фамилия Квашинский — одна из тех, где на первый взгляд понятно, а приглядишься — начинаются вопросы. Если отбросить очевидное, то сразу бросается в глаза модель образования: суффикс -ский. В польской и западнорусской традиции он указывал либо на дворянское происхождение (шляхетская фамилия по названию имения), либо на географическую привязку — «из Квашина» или «из Кваши». Второе правдоподобнее: на картах есть несколько топонимов Квашино, особенно на северо-западе России и в Беларуси. Человек, переехавший из такого села, получал прозвание Квашинский — по месту, откуда родом.

Корень «кваш» ведёт к глаголу «квасить» — делать кислым, заквашивать. Прозвище Кваша в старину давали медлительному, вялому человеку (отсюда «квашня» — месиво для теста, а в переносном смысле — увалень). Но есть и другая линия: в древненовгородских берестяных грамотах встречается имя Квашня, которое могло быть необидным бытовым прозвищем. Фамилия Квашинский могла образоваться и напрямую от такого прозвища, минуя географию, — по модели «чей сын?»: Квашин сын, а потом, под влиянием моды на -ский, превратилась в Квашинский.

Спорный момент — возможная связь с фамилией Квашнин. Унбегаун в своём словаре русских фамилий разводит их: Квашнины — однозначно от «квашня», а Квашинские — скорее топонимические. Однако в реальной жизни границы размыты: в метрических книгах XIX века, особенно на территории современных Смоленской и Витебской областей, Квашинские записаны и как мещане, и как крестьяне, то есть сословной привязки у фамилии нет. Если ваши предки носили эту фамилию, ищите их в западных губерниях Российской империи или в Польше — там концентрация выше.

Коротко: Квашинский — это либо «выходец из Квашина», либо потомок человека по прозвищу Кваша. Оба варианта живые, но география склоняет к первому.