Фамилия Квашнев образована от прозвища Квашня. В древнерусском языке квашня — это деревянная кадка для заквашивания теста, а также само тесто. Прозвище могли дать полному, рыхлому человеку (по сходству с поднимающимся тестом) или, напротив, хлебосольному хозяину, у которого в доме всегда была квашня. В говорах слово имело и переносное значение: «копуша», «медлительный человек» — отсюда ещё одна возможная основа.

Суффикс -ев указывает на принадлежность: Квашнев — сын Квашни. Это типичная модель русских фамилий XVI–XVII веков, когда прозвище отца переходило к детям с прибавлением патронимического суффикса. Фамилия фиксируется в документах с XVII века: в переписных книгах встречаются крестьяне и посадские люди Квашневы в центральных уездах России, особенно в Рязанской и Тульской губерниях.

В отличие от более распространённой фамилии Квашнин, где суффикс -ин также указывает на родство (Квашня → Квашнин), форма Квашнев встречается реже. Разница в суффиксе могла возникнуть из-за диалектных особенностей: в одних говорах слово «квашня» склонялось по мужскому роду (квашня — квашни, как дядя — дяди), откуда и пошло Квашнев, в других — по женскому, дав Квашнин.

Среди однокоренных фамилий — Квашнины, Квашонкины, Квашниченко. Все они восходят к одному корню, но Квашнев сохранил более прямую связь с прозвищем, не испытав влияния украинской или белорусской модели. По сословной принадлежности фамилия не была дворянской — её носители в основном крестьяне и мещане, хотя в XIX веке встречались и купцы Квашневы, торговавшие хлебом в Поволжье.

Если ваши предки Квашневы, то, скорее всего, они происходят из центральной России, а само прозвище указывало на род занятий или характер — либо на пекаря, державшего квашню, либо на человека медлительного и основательного.