Фамилия Квашонина — женская форма фамилии Квашонин, а та, в свою очередь, образована от прозвища или имени Квашоня. Несмотря на внешнюю схожесть с «квашней» (деревянной кадкой для теста), корень здесь другой. В основе лежит диалектный глагол «квашониться» — медлить, копаться, возиться. В говорах Русского Севера и Сибири «квашоней» называли нерасторопного, вялого человека или того, кто слишком долго собирается. Фамилия звучит как насмешливое прозвище: предок мог получить его за медлительность или занудство.

Модель образования стандартна для русских фамилий: суффикс -ин указывает на принадлежность («чей?» — сын Квашони). В отличие от фамилий на -ов/-ев, которые чаще образовывались от полных форм крестильных имён, -ин тяготеет к прозвищам и уменьшительным именам на -а/-я. Квашоня — типичный пример такого прозвища-характеристики. Фамилия редкая, географически привязана к северным областям России: Архангельская, Вологодская, Кировская области. Встречается также в Зауралье, куда переселенцы принесли говор.

Стоит упомянуть, что в редких случаях возможна связь с профессией. В некоторых диалектах «квашонником» называли того, кто делал квашни (кадки). Но для фамилии Квашонин эта версия слабее: суффикс -оня не характерен для ремесленных названий, а вот для прозвищ — в самый раз. Так что скорее всего, ваш предок был не бондарем, а человеком, которого дразнили за медлительность. Фамилия сохранила это бытовое прозвище в неизменном виде.