Фамилия Левккин — редкий случай, когда двойное «к» в суффиксе не случайность, а ключ к происхождению. Если бы фамилия была образована по стандартной модели от имени Левка (уменьшительная форма от Лев или Леонтий), мы бы получили Левкин — с одним «к». Двойное «к» указывает на другую основу: прозвище Левкка. В русских говорах «левкка» или «лёвка» могли называть левшу, человека, который всё делает левой рукой. Слово родственно диалектному «левша», но с характерным для северо-западных и псковских говоров удвоением согласного. Таким образом, Левккин — это «сын Левкки», то есть потомок левши.

Вторая версия, менее вероятная, но допустимая: фамилия могла возникнуть от имени Левкей (греческое Λευκέας, «беловатый»), которое в просторечии превратилось в Левкка. Однако такое имя в русской традиции почти не встречается, а прозвище по физическому признаку — леворукость — было распространённым и давало много однокоренных фамилий: Левшин, Левшов, Левшаков. Левккин стоит в этом ряду особняком из-за своей фонетики.

Географически фамилия привязана к Псковской области и прилегающим районам Новгородчины. В псковских говорах удвоение согласных в прозвищах — не редкость (ср. фамилии Коротткий, Глуххой). В XIX веке носители фамилии Левккин фиксируются в крестьянской среде Опочецкого и Великолукского уездов. Сословно — почти исключительно крестьяне, реже мещане. Дворянских родов с такой фамилией нет.

Написание с двумя «к» устойчиво, но в дореволюционных документах встречаются варианты Левкин (с одним «к») и даже Левкен — под влиянием немецкой транскрипции в прибалтийских губерниях. Современные носители фамилии, по данным телефонных справочников, сосредоточены в Пскове, Санкт-Петербурге и Москве — потомки переселенцев из псковской деревни.

Если ваши предки — Левккины, скорее всего, они были крестьянами-землепашцами из Псковской губернии, а фамилия напоминает о прозвище родоначальника, который, по всей видимости, был левшой.