Фамилия Лобацкая — женская форма от Лобацкий, и её разбор стоит начать с суффикса. Окончание -ский/-цкий в русских фамилиях чаще всего указывает на географическое происхождение: так называли выходцев из какого-то места. В основе Лобац- лежит либо топоним (название села, деревни, урочища), либо прозвище, которое затем закрепилось за целым родом.

Самая вероятная версия — связь с прозвищем Лобач. В старых русских говорах «лобач» — это человек с большим или выпуклым лбом, либо, в переносном смысле, упрямый, крутой нравом. От этого прозвища образовались фамилии Лобачев, Лобанов, а также Лобацкий через суффикс принадлежности -ц-. То есть Лобацкий — «сын или потомок Лобача». Подтверждение этому находим в словаре Б. Унбегауна, где он относит такие формы к типичным для украинской и белорусской ономастики, где -цкий часто заменяет более привычное великорусское -ов.

Менее распространённая, но допустимая версия — происхождение от названия населённого пункта вроде Лобачи, Лобацк или Лобацево. Такие топонимы встречаются в Беларуси и на западе России (например, деревня Лобачи в Витебской области). Тогда Лобацкий — помещик или крестьянин, переехавший оттуда. В пользу этой версии говорит и сама модель: фамилии на -ский в XV–XVII веках чаще получали дворяне по своим вотчинам, но позже по той же схеме стали записывать и крестьян, переселившихся из одной губернии в другую.

По сословной принадлежности сказать однозначно сложно. Если фамилия возникла по топониму, предки могли быть и шляхтой (особенно в Речи Посполитой, где Лобацкие встречаются в польских гербовниках), и крестьянами. Если же корень — прозвище Лобач, то перед нами типичная крестьянская или казачья фамилия, каких много на юге России и Украине.

В написании с буквой «а» (Лобацкая, а не Лобоцкая) слышится южнорусское или белорусское «аканье», что тоже сужает географию: скорее всего, корни фамилии — в Смоленщине, Черниговщине, на Брянщине или в восточной Беларуси. Встречается она и сегодня, но не массово, что подтверждает её локальный, а не общерусский характер.