Фамилия Максова — женская форма от Максов, а та, в свою очередь, образована от мужского имени или прозвища Макс. Здесь нужно сразу разобраться с основой. Вопреки интуиции, корень чаще всего не связан напрямую с латинским «максимус» (величайший). В русской ономастике имя Макс — это, как правило, сокращённая форма от крестильного имени Максим. Такие усечения были в ходу в простонародной среде: Макс, Макша, Макся. Соответственно, Максов — «сын Макса», то есть потомок человека, которого в быту звали Максом.

Однако есть и более редкая, но любопытная версия. В некоторых говорах «максой» называли сметливого, хитрого человека, а в ряде регионов — того, кто любит поживиться чужим, прихватить лишнее. Прозвище Макса могло закрепиться за человеком с таким характером. В этом случае фамилия образована не от имени, а от прозвища, что тоже типично для русских фамилий на -ов.

Суффикс -ов указывает на принадлежность: «чей?» — Максов. Это самая распространённая модель образования русских фамилий, особенно в центральных и северных губерниях. Фамилия Максова, соответственно, принадлежала женщине из рода Максовых — жене или дочери того самого Макса.

Географически фамилия встречается нечасто, но локально — в Поволжье и на Урале. Там усечение Макс от Максима было особенно популярно. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они были из крестьянской или мещанской среды, где имя Максим в быту сокращали до Макс. Никакого аристократического или дворянского происхождения у этой фамилии нет — она чисто народная, бытовая.

В написании возможна путаница: иногда фамилию путают с Максова от мужского имени Макс (с ударением на первый слог) и с Максова (от немецкой фамилии Max). Но в русском контексте правильным считается происхождение от Максима, и ударение в фамилии обычно падает на первый слог: Ма́ксова.